Делимость чисел

Мы всегда можем проверить, делится ли одно из двух чисел на другое. А что делать, если чисел больше? Есть ли свойства делимости для таких случаев?

Деление – это одно из основных арифметических действий в математике.
Это действие, обратное умножению.

Т. е. говорят, что натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует число с, при умножении которого на число b получается число а.

a ։ b = c, если c ∙ b = a

При дальнейших рассуждениях слова «натуральные», «нацело» будем опускать для краткости.
Кратное натурального числа – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Если, а делится на b, то говорят ещё, что, а кратно b, при этом a ≥ b.
Например, число 36 кратно числу 12, т. к. 36 : 12 = 3.

Cвойства делимости

1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это же число.
Например, двадцать пять делится на пять, значит и произведение чисел двадцать пять и двенадцать делится на пять. Т.к. число двадцать пять можно разложить на множители пять и пять. И наш делитель пять входит в это произведение. Следовательно это произведение делится на заданное число.

2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.
Например, 168 делится на 56, т. к. 168 – это результат произведения 56 и 3.
56 делится на 8, т. к. 56 – это результат произведения 7 и 8.
Следовательно, 168 делится на 8, т. к. 168 – это результат произведения трёх чисел – 8, 3 и 7. Если поделить 168 на 8, получится 21.
68 делится на 8, т. к. 168 : 8 = 8 · (3 · 7) : 8 = 21.

3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.
Например, 200 делится на 2, т. к. 200 – это произведение 2 и 100.
24 тоже делится на 2, т. к. 24 – это произведение 2 и 12.
Следовательно, 224 делится на 2, т. к. это число есть сумма 200 и 24, или сумма произведений чисел 2 и 100 и 2 и 12.
Используя распределительное свойство, получим произведение числа 2 на сумму чисел 100 и 12. Или, иначе говоря, произведение числа 2 и числа 112.
224 делится на 2, т. к. 224 = 200 + 24 = 2 · 100 + 2 · 12 = 2 · (100 + 12) = 2 · 112.
Теперь возьмём число 35. Оно делится на 5.
Представим его как разность 100 и 65.
Т. к. 100 – это произведение 5 и 20, а 65 – это произведение 5 и 13, то получим следующее выражение:
35 = 100 – 65 = 5 · 20 – 5 · 13 = 5 · (20 – 13) = 5 · 7.
35 – это разность 100 и 65, или разность произведений чисел 5 и 25 и 5 и 13.
Используя распределительное свойство, получим произведение 5 и разности чисел 20 и 13. Выполнив действие вычитания, получим результат произведения чисел 5 и 7.

4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.
Например, 48 делится на 2, т. к. 48 = 2 · 24.
15 не делится на 2.
Следовательно, 48 + 15 и 48 – 15 не делятся на 2.
В противном случае это противоречило бы свойству три.

Видеоуроки

Тренировочные задания

№ 1. Какие из чисел 28; 25; 23; 22 делятся на 14?